2008年高考數學復習：解析幾何專題熱點指導

　　天津市第四十二中學 張鼎言

　　3. 設A，B分別為橢圓-+-=1(a，b>0)的左、右頂點，橢圓長半軸的長等于焦距，且x=4為它的右準線。

　　(Ⅰ)、求橢圓的方程；

　　(Ⅱ)、設P為右準線上不同于點(4，0)的任意一點，若直線AP，BP分別與橢圓相交于異于A，B的點M、N，證明點B在以MN為直徑的圓內。

　　解：(Ⅰ)由已知a=2c，-=4

　　故橢圓的方程為-+-=1

　　(Ⅱ)要證點B在以MN為直徑的圓內，需證∠MBN>90°。用向量數量積方法要考慮B、M、N三個點的坐標，其中M、N兩個點的坐標在運算上都有難度，我們轉化為證明∠MBP<90°，這時用點P的坐標使問題簡化。如圖，不妨假定y0>0，y1>0

　　由平面幾何，

　　-=-=-，

　　y0=-，

　　M在橢圓上，

　　即y12=-(12-3x12)

　　-=(x1-2，y1)，

　　-=(2，y0)

　　-·■=2(x1-2)+y0y1=2(x1-2)+-=2(x1-2)+-(2-x1)=-(2-x1)

　　而-2

　　∴-·■>0，

　　∴cos∠MBP>0，

　　∠MBP<90°，

　　∠MBN>90°

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