2021上海高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：求異面直線(xiàn)所成角的常用方法

　　過(guò)空間任意一點(diǎn)引兩條直線(xiàn)分別平行于兩條異面直線(xiàn)，它們所成的銳角(或直角)就是異面直線(xiàn)所成的角。角的范圍是θ∈(0°,90°]。

　　1、幾何法和向量法求所成角

　　幾何法

　　1.平移法。將兩條直線(xiàn)或其中一條平移(找出平行線(xiàn))至它們相交，把異面轉(zhuǎn)化為共面，用余弦定理或正弦定理來(lái)求(一般是余弦定理)。一般采用平行四邊形或三角形中位線(xiàn)來(lái)構(gòu)造平行線(xiàn)。

　　2.三余弦定理法。運(yùn)用三余弦定理關(guān)鍵是要找出一條直線(xiàn)a所在的平面α和另一條直線(xiàn)b在該平面α內(nèi)的射影，求出b與α所成角以及a與b的射影b‘所成角，進(jìn)而求a與b所成角。

　　3.三棱錐法。三棱錐(四面體)中兩條相對(duì)的棱互為異面直線(xiàn)，設(shè)有四面體ABCD，其中AD與BC互為異面直線(xiàn)，那么它們所成角θ滿(mǎn)足以下關(guān)系：

　　運(yùn)用該公式也可以求異面直線(xiàn)所成角。

　　向量法

　　1.向量幾何法。運(yùn)用向量的加減法規(guī)則，把要求的異面直線(xiàn)用向量表示，并運(yùn)用向量的運(yùn)算法則(例如分配律、共線(xiàn)向量)來(lái)求出cosθ

　　2.向量代數(shù)法。當(dāng)容易找到三條兩兩垂直的直線(xiàn)時(shí)，可以以它們的交點(diǎn)為坐標(biāo)軸原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，運(yùn)用代數(shù)方法。

　　2、如何求異面直線(xiàn)所成的角

　　在高一階段，我們常用的方法有以下三種：

　　(1)直接平移法： 通常的思路是：在兩條異面直線(xiàn)其中一條上面選一個(gè)端點(diǎn)，引另一條的平行線(xiàn)。

　　(2)中位線(xiàn)平移(尤其是圖中出現(xiàn)了線(xiàn)段的中點(diǎn)時(shí))

　　(3)補(bǔ)形平移法：“補(bǔ)形法”是立體幾何中一種常見(jiàn)的方法，通過(guò)補(bǔ)形，可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為易于研究的幾何體來(lái)處理，利用“補(bǔ)形法”找兩異面直線(xiàn)所成的角也是常用的方法之一。